Risc de ruina

La question

As a unitatsargentUnitatLa mesa de basa que s’i compta un sistèma o un jogaire. Las progressions son descrichas en unitats per que s’apliquen a qual que siá taula.Legís tot → de capital de jòcargentCapital de jòcLa soma totala mesa de costat per jogar. La gestion del capital de jòc es decidir quant ne riscar per pari e per sesilha.Legís tot → e vòls aténher a + b unitats, en pariant una unitat a la vegada sus un pari a egalitat de mesapariPari a egalitat de mesaRoge/negre, impar/par, passa/manca. 18 nombres, paga 1:1.Legís tot → amb una probabilitatmatematicasProbabilitatLa possibilitat d’un resultat, de 0 a 1 o de 0% a 100%. Un nombre: 1/37 = 2,70%.Legís tot → de ganh p = 18/37 e una probabilitat de pèrda q = 19/37. Quina es la probabilitat d’aténher l’objectiu abans d’arribar a zèro? La responsa foguèt calculada per Pascal, Fermat e Huygens dins las annadas 1650 e es un dels resultats mai ancians de la probabilitat.

Blaise Pascal: la legenda del cilindre de rotleta

La formula de la ruina del jogaire

P(aténher l’objectiu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Lo risc de ruinamatematicasRisc de ruinaProbabilitat de pèrdre tot lo capital de jòc abans d’arribar a un objectiu o a un nombre de tiradas.Legís tot → es un mens aquò. Amb q/p = 19/18 ≈ 1,0556, lo rapòrt creis exponencialament amb lo nombre d’unitats, doncas la formula castiga sevèrament las pichonas unitats: mai cal de paris per aténher l’objectiu, mai de còps se paga lo pedatge de 2,70% pel camin.

Lo legir

Las pichonas unitats fan mal. Ensajar de doblar $500 amb de paris de $10 capita 6% del temps; amb un sol pari de $500, capita 48,6% del temps. Lo jòc ardit, mens de paris e mai grands, maximiza la probabilitat d’aténher un objectiu dins un jòc d’esperança negativa, perque minimiza lo nombre de còps que l’avantatge s’aplica. Maximiza tanben la variànciamatematicasVariànciaUna mesura de l’espandiment dels resultats a l’entorn de la valor esperada. Nauta pel plen, bassa pels paris a egalitat de mesa.Legís tot → de çò que t’arriba, e acaba la serada lèu. Lo teorèma s’apèla «lo jòc ardit es optimal» e foguèt demostrat per Dubins e Savage en 1965.

Ont comencèt lo problèma

La question es mai anciana que la rotleta. En 1656, Pascal pausèt un enigma a Fermat: dos jogaires gètan tres dats, cadun en començant amb 12 getons; una getada de 11 desplaça un geton d’un costat, una getada de 14 de l’autre. Totes dos lo resolguèron, e Huygens, que n’auguèt conéissença per una letra del matematician Pierre de Carcavi, lo publiquèt en 1657 coma lo cinquen problèma del primièr libre sus la probabilitat, amb la responsa e sens demostracion. Onze se pòt getar de 27 biaisses e catòrze solament de 15, doncas cada geton se desplaça cap al primièr jogaire 9 còps sus 14, e la formula çai sus, amb 12 getons cadun, li dona a l’entorn de 1 157 còps mai de probabilitat de tot ganhar que de tot pèrdre. Un avantatge de 2,70% es fòrça mai pichon, mas la meteissa formula mòstra çò que fa sus fòrça paris.

Un vertadièr pari ardit

En abril de 2004, Ashley Revell, un jove anglés, vendèt quasi tot çò qu’aviá, sos vestits compresos, e portèt $135 300 al Plaza de Las Vegas. Après qualques pichons paris, metèt tota la soma sul rogepariRogePari a egalitat de mesa suls 18 nombres roges. En francés: rouge.Legís tot →, un sol còp. La bòlamaterialBòlaLa pichona bòla lançada dins la pista a l’invèrs del rotor. Las bòlas modèrnas son en ivorina o en teflon, de 18–21 mm.Legís tot → tombèt sul 7 roge e ne sortiguèt amb $270 600. Sus un cilindre a zèrocilindreZèroLa sola casèla verda que cap de pari a egalitat de mesa, de dotzena o de colomna cobrís pas; la font de l’avantatge de la casa. Tanben: zèro simple, 0.Legís tot → doble, aquela sola tirada èra una probabilitat de 47,37% e li costava $7 121 en mejana, l’avantatge de 5,26% sus un pari. Espandit sus de paris de $10, lo meteis objectiu seriá estat quasi desesperat. Lo jòc ardit rend pas lo pari bon; lo rend lo mai cort possible.

Risc de ruina sens objectiu

Se jògas simplament fins a te ruïnar o t’arrèstas après N tiradas, la question ven «quina es la probabilitat que mon capital de jòc tòque zèro dins N tiradas?». I a pas de formula tancada per un N general, mas los simuladors d’aqueste site o calculan: un capital de jòc de $500 a $10 sul roge se ruïna quasi pas jamai en 100 tiradas (mens de 1%), se ruïna a l’entorn de 9% del temps en 500 tiradas, e a l’entorn de 95% del temps en 5 000. Sens règla d’arrèst, la probabilitat tend cap a 100%, qu’es la version a long tèrme de l’avantatge de la casamatematicasAvantatge de la casaLa part de cada mesa que lo casino garda en mejana: 2,70% a la rotleta europèa.Legís tot →.

Convergéncia a long tèrme: la lei dels grands nombres a la rotleta

Quant de temps, e quant en avança

Dos autres resultats classics respondon a de questions que los jogaires se pausan vertadièrament. Sens objectiu, los paris constants a egalitat de mesa duran en mejana 37 tiradas per cada unitat de capital de jòc sus un cilindre europèu e 19 sus un american, perque cada tirada pren 1/37 d’unitat en mejana (1/19 sus un cilindre american): 100 unitats duran 3 700 tiradas en mejana, alara que la mitat d’aquelas sesilhas son acabadas en 3 134 (vejas Durada e còst d’una sesilha). E quin que siá lo capital de jòc, la probabilitat sus un cilindre europèu d’èsser un jorn k unitats en avança es (18/19)ᵏ. Aquò fa 95% per una unitat e 58% per dètz, mas cap de capital de jòc, tan prigond que siá, dona pas una probabilitat d’un sus dos d’èsser un jorn 13 unitats en avança; sus un cilindre american, la probabilitat es (9/10)ᵏ e tomba jos la mitat a 7 unitats.

Durada e còst d’una sesilhaCilindre e règlas de la rotleta americana

Un capital de jòc per una probabilitat d’un sus dos

Vira la question: quant cal portar per aver al mens una probabilitat d’un sus dos de ganhar una soma donada abans de tot pèrdre? Per un pichon ganh, pas gaire. Per un ganh mai grand, lo capital de jòc necessari monta fòrt, e al delà d’un punt cap de capital de jòc basta pas, perque quitament un capital sens fin dona mens d’una probabilitat d’un sus dos d’èsser un jorn tan en avança. Taylor (2021) o ditz autrament: sus un cilindre american, per aver una probabilitat d’un sus dos d’aténher 100 unitats, te cal començar amb 94, en riscant 94 per ganhar 6. Sus un cilindre europèu, te’n caldriá 88.

La leiçon practica

Decidís çò que cèrcas a far. Se l’objectiu es un ganh precís, pària gròs e pauc. Se l’objectiu es una serada longa, pària pauc e accèpta que l’avantatge prendrà sos 2,70% d’un volum de parisargentVolum de parisLa soma totala pariada sus una sesilha o un periòde, en comptant los ganhs tornats pariar. Tanben: handle, action.Legís tot → important. Se l’objectiu es los dos, quicòm deu cedir, e es sovent l’objectiu.

Formula

Questions