Problèma: lo cilindre dels anniversaris
Quantas tiradas abans qu’un nombre se repetisca? Fòrça mens que çò que la màger part del monde devina.
Lo problèma dels anniversaris sus un cilindre de 37 casèlasmaterialCasèlaUn dels 37 compartiments numerotats del rotor. Tanben: lòtja, cobeta.Legís tot →: aprèp solament 8 tiradas, i a mai d’una chança sus doas qu’un nombre siá ja sortit dos còps. Los jogaires legisson las repeticions coma de motius; son lo comportament esperat d’un cilindre equitable.
Lo problèma
Fai virar un cilindre europèu equitable. Quantas tiradas cal abans que la probabilitatmatematicasProbabilitatLa possibilitat d’un resultat, de 0 a 1 o de 0% a 100%. Un nombre: 1/37 = 2,70%.Legís tot → qu’almens doas tiradas ajan mostrat lo meteis nombre passe la mitat? La màger part dels jogaires devinan a l’entorn de 18 o 19, la mitat de 37. La responsa es 8.
La solucion
Calcula la probabilitat de cap de repeticion e tira-la d’un. Aprèp k tiradas, p(totas diferentas) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Per k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, doncas p(una repeticion) ≈ 0,56. Per k = 14 es 0,93; per k = 20 es 0,996. L’intuicion se tròmpa perque lo nombre de parelhs de tiradas creis coma k², e quin parelh que siá pòt coïncidir.
Perque aquò compta a la taula
Un tablèu dels 20 darrièrs nombres mostrarà gaireben totjorn almens una repeticion, sovent doas o tres. Los jogaires veson «lo 17 es sortit dos còps en dètz tiradas» e ne concluson que lo 17 es caud; lo calcul dels anniversaris ditz qu’una repeticion en dètz tiradas arriba 74% del temps e que lo nombre repetit es aleatòri. Lo motiu es real; lo sens, non.
Lo problèma seguent
Quantas tiradas abans qu’un nombre precís, per exemple lo 17, siá sortit dos còps? Es una autra question amb una responsa fòrça mai granda: l’espèra esperada es de 74 tiradas, e la probabilitat de dos 17 en 20 tiradas es d’environ 10%. La diferéncia entre «un nombre se repetís» (8 tiradas) e «aqueste nombre se repetís» (74 tiradas) es tota la diferéncia entre un motiu que remarcas aprèp e una prediccion que fas d’avança.
Ensaja
Fai virar lo Jòc de demostracion dètz tiradas e agacha l’istoric. I aurà sovent una repeticion. Torna o far. Lo nombre repetit serà un autre. Fai-o dètz còps e auràs vist lo problèma dels anniversarismatematicasProblèma dels anniversarisQuantas personas cal abans que doas ajan probablament lo meteis anniversari, o quantas tiradas abans qu’un nombre se repetisca probablament. Sus un cilindre de 37 casèlas, 8 tiradas bastan per una probabilitat superiora a una sus doas.Legís tot →; fai-o mila còps (los simulators o pòdon far) e l’auràs mesurat.
Formula
Questions
Exactament, amb 37 casèlas al luòc de 365 jorns. 23 personas donan 50% per los anniversaris; 8 tiradas donan 56% per lo cilindre.
50% aprèp environ 19 tiradas. Encara plan banal.
Non. De milièrs de tiradas d’un meteis cilindre o poirián far; una repeticion, jamai.
Se divertir amb las matematicas
Ensaja-o d’en primièr tot sol. Cada solucion es plegada; dobrís-la quand siás prèst.
Un panèl de resultats al costat d’un cilindre american mòstra las 16 darrièras tiradas. Quina es la probabilitat que cap de nombre i aparesca pas dos còps?
Mostra la solucion
Responsa A l’entorn de 2,5%: environ 39 panèls sus 40 mòstran al mens una repeticion.
Avança tirada per tirada. La primièra tirada pòt èsser quin nombre que siá. La segonda lo deu mancar: 37 possibilitats sus 38. La tresena los deu mancar totes dos: 36 sus 38. La setzena deu mancar quinze nombres: 23 sus 38.
Multiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Es lo panèl sens repeticion qu’es lo rar. Un panèl amb una repeticion ditz pas res sul cilindre.
En dètz tiradas d’un cilindre europèu, quina es la probabilitat que lo 17 sortisca exactament cinc còps? Qu’un nombre, quin que siá, sortisca cinc còps o mai? E qu’un nombre sortisca al mens tres còps en quatre tiradas?
Mostra la solucion
Responsa Lo 17 exactament cinc còps: 1 sus 315 576. Un nombre quin que siá cinc còps o mai: a l’entorn d’1 sus 8 333. Un nombre tres còps o mai en quatre tiradas: 1 sus 349.
Lo 17 cinc còps: causís quinas cinc de las dètz tiradas, 252 biaisses, cadun amb una probabilitat de (1/37)⁵ × (36/37)⁵. En tot, 1 sus 315 576.
Un nombre quin que siá: cadun dels 37 nombres a una probabilitat d’1 sus 308 325 de sortir cinc còps o mai, çò que dona 37 sus 308 325, o 1 sus 8 333. Lo cas rar de dos nombres que sortisson cinc còps cadun es comptat dos còps, mas lo levar càmbia res a aquela precision.
Tres còps en quatre tiradas: per un nombre, 4 × 36 + 1 = 145 dels 37⁴ resultats possibles; per un dels 37 nombres, 145/37³ = 1 sus 349.
Per un cilindre de zèrocilindreZèroLa sola casèla verda que cap de pari a egalitat de mesa, de dotzena o de colomna cobrís pas; la font de l’avantatge de la casa. Tanben: zèro simple, 0.Legís tot → doble, las chifras correspondentas son 1 sus 359 275, 1 sus 9 243 e 1 sus 368. L’escart entre «lo 17» e «un nombre quin que siá» es encara lo problèma dels anniversarismatematicasProblèma dels anniversarisQuantas personas cal abans que doas ajan probablament lo meteis anniversari, o quantas tiradas abans qu’un nombre se repetisca probablament. Sus un cilindre de 37 casèlas, 8 tiradas bastan per una probabilitat superiora a una sus doas.Legís tot →: i a 37 biaisses d’èsser susprés.
Pausa umoristica
Quicòm se repetís lèu. Aquel quicòm es aleatòri.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. «Ask the Wizard», questions sus la rotleta.