Lo critèri de Kelly e la rotleta
Lo critèri de Kelly ditz a un pariaire qu’a un avantatge quant deu metre. Per la rotleta, dona una responsa clara: res.
Mesa de Kelly = avantatge / cota. Amb un avantatge negatiu, la formula dona una fraccion negativa, çò que vòl dire: paries pas. Lo critèri es pasmens util per comprene perque los jogaires de biais calibravan lors paris coma o fasián, e perque totes los autres deurián calibrar segon lor budgèt.
Lo critèri
John Kelly (1956) se demandèt cossí un jogaire amb un avantatge conegut deu calibrar sos paris per maximizar la creissença a long tèrme del capital de jòcargentCapital de jòcLa soma totala mesa de costat per jogar. La gestion del capital de jòc es decidir quant ne riscar per pari e per sesilha.Legís tot →. La responsa, per un pari que paga b contra 1 amb una probabilitatmatematicasProbabilitatLa possibilitat d’un resultat, de 0 a 1 o de 0% a 100%. Un nombre: 1/37 = 2,70%.Legís tot → de ganh p e una probabilitat de pèrda q = 1 − p, es de metre la fraccion f* = (bp − q) / b del capital. Un f* positiu vòl dire pariar aquela fraccion; zèro o negatiu vòl dire pariar pas. Kelly trabalhava als Bell Labs, e son article, «A new interpretation of information rate», plaçava lo problèma dins la teoria de l’informacion de Claude Shannon: un jogaire que recep d’indicacions per una linha bruchosa, a de cotas equitablas, pòt far créisser son capital, al melhor, al ritme de l’informacion que la linha transmet. En 1961, Leo Breiman demostrèt que lo pari de Kelly, a long tèrme, acaba davant quina estrategia que siá d’essencialament diferenta e aténh un objectiu fixat dins a pauc prèp lo temps mai cort.
Lo pari de Kelly a la rotleta
Per lo rogepariRogePari a egalitat de mesa suls 18 nombres roges. En francés: rouge.Legís tot →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Per un plenpariPlenUn sol nombre, paga 35:1.Legís tot →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Cada pari estandard dona una fraccion de Kelly negativa, perque cada pari a un avantatge negatiu, e la mesa optimala per la creissença es zèro. Lo pari de Kelly a la rotleta es un biais formal de dire çò que ditz la pagina de l’avantatge de la casa: i a pas cap de talha a la quala un pari d’esperança negativa fa créisser un capital.
Ont Kelly s’aplicava vertadièrament
Los jogaires de biais avián un avantatge e un problèma de calibratge. Jagger, los García-Pelayo e los Eudaemons deguèron totes decidir quant pariar sus lor avantatge mesurat: pariar tròp pauc gasta l’avantatge, e pariar tròp risca la ruina abans que l’avantatge se mòstre. Per una casèlamaterialCasèlaUn dels 37 compartiments numerotats del rotor. Tanben: lòtja, cobeta.Legís tot → que sortís 1 sus 30, Kelly ditz 0,57% del capital per tirada sus aquel nombre: amb $10 000, environ $57 per tirada, per una creissença tipica d’environ 0,054% per tirada, siá ×1,7 sus 1 000 tiradas. Lo ganh mejan es lo doble, 0,11% per tirada, mas Kelly vísa lo capital tipic, pas lo capital mejan, que qualques serias astrosas gonflan. Lo mièg Kelly es la causida practica abituala perque l’estimacion de l’avantatge es incèrta.
Tipic e mejan
L’escart entre lo capital tipic e lo capital mejan es larg. Prenèm una casèla que sortís 1 còp sus 25, un avantatge de 44%, la chifra que Thorp dona per son aparelh. Kelly i met 1,26% del capital. Aprèp 1 000 tiradas, lo capital tipic es estat multiplicat per environ 11,5, mentre que lo capital mejan, tirat cap amont per qualques serias fòrça astrosas, es estat multiplicat per environ 249. Pariar mai que Kelly aumenta la mejana e demesís lo resultat tipic: al doble de la mesa de Kelly, lo capital tipic fa pas que doblar, e a doas fes e mièja la mesa de Kelly demesís, e pasmens cada pari pòrta totjorn un avantatge de 44%. Pariar mens còsta pauc: la mitat de la mesa garda environ tres quarts de la creissença.
Quand l’avantatge es una suposicion
Kelly supausa que l’avantatge es conegut. A la taula, es estimat, e l’estimacion es sovent tròp nauta. L’exemple d’Epstein, bastit sul 44% de Thorp, es un nombre que sortiguèt 49 còps en 1 225 tiradas d’un cilindre a zèrocilindreZèroLa sola casèla verda que cap de pari a egalitat de mesa, de dotzena o de colomna cobrís pas; la font de l’avantatge de la casa. Tanben: zèro simple, 0.Legís tot → doble: 1 còp sus 25, un avantatge de 44%, una mesa de Kelly de 1,26%. Mas un cilindre equitable a zèro doble a 38 nombres, e lo mai frequent d’entre eles aténh 49 o mai en 1 225 tiradas a pauc prèp un còp sus nòu. Lo nombre mai frequent de quin registre que siá es tanben lo que l’astre a mai ajudat, doncas quitament una casèla vertadièrament biaissada sembla melhora dins lo registre que non es: es la malediccion del ganhant. Se aquela casèla es en realitat pas biaissada, la mesa de Kelly es simplament un pari que pèrd 5,26% en mejana. Las responsas abitualas son de pariar una fraccion de Kelly e de contunhar de comptar fins que l’avantatge resistisca a un registre novèl (vejas Cossí detectar lo biais d’un cilindre de rotleta).
De monde amb un avantatge
Conéisser l’avantatge es pas lo meteis que de l’utilizar plan. Haghani e Dewey (2016) donèron $25 a 61 personas per pariar pendent una mieja ora sus una pèça que, lor diguèron, tombava sus cara 60% del temps, amb de ganhs limitats a $250 (los jogaires aprenguèron lo limit pas qu’en l’atenhent). Kelly ditz de pariar 20% del capital sus cara a cada còp, e los autors estiman que de paris regulars de 10–20% atenhirián lo limit environ 95% del temps. Pas que 21% dels jogaires i arribèron. 28% faguèron ruina, 18 dels 61 pariguèron tot sus un sol lançament, environ un tèrç acabèt jos los $25 de despart, e lo pagamentargentPagamentÇò que rapòrta un pari ganhant, exprimit coma «X contra 1» en mai de la mesa renduda.Legís tot → mejan foguèt de $91. Pas que cinc dels 61 avián ausit parlar del critèri de Kelly. Amb un avantatge, la talha dels paris decidís se lo gardas; sens avantatge, coma a un cilindre equitable, cap de talha ajuda pas.
Qué utilizar a la plaça
Sens avantatge, lo calibratge es una question de budgèt, pas de creissença: mesa = çò que siás prèst a despensar per tirada, deduch del budgèt per ora e del ritme de la taula (pagina de gestion del capital de jòc). L’apòrt de Kelly al jogaire ordinari es la claretat de sa responsa: zèro. Tot çò que mesas al dessús de zèro es lo prètz del jòc, causit per tu, pas optimizat per cap de formula.
Una nòta sul Kelly fraccionari e la «gestion de l’argent»
Los sistèmas venduts coma «Kelly per la rotleta» que recomandan un percentatge fixe del capital per pari son de pari constantestrategiaPari constantPariar la meteissa soma a cada tirada. La referéncia que cada progression i es comparada.Legís tot → amb una mesa que demesís. Pèrdon 2,70% del volum de parisargentVolum de parisLa soma totala pariada sus una sesilha o un periòde, en comptant los ganhs tornats pariar. Tanben: handle, action.Legís tot → e, perque la mesa demesís quand pèrdes, rendon la ruina lenta mai que pauc probabla. Es un biais rasonable de far durar un budgèt; es pas Kelly, que diriá d’arrestar.
Formula
Questions
Pas qu’amb un avantatge mesurat sus un cilindre biaissatlaboratòriCilindre biaissatUn cilindre que sos defauts fisics rendon d’unas casèlas mai probablas que 1/37. Es rar e se detecta pas qu’amb de milièrs de tiradas notadas.Legís tot → o amb un aparelh de cronometratge. Pas jamai sus un cilindre equitable.
Perque l’estimacion de l’avantatge a d’errors, e pariar tròp còsta mai que pariar pas pro. Lo mièg Kelly dona tres quarts de la creissença per un quart de la variànciamatematicasVariànciaUna mesura de l’espandiment dels resultats a l’entorn de la valor esperada. Nauta pel plen, bassa pels paris a egalitat de mesa.Legís tot →.
Non. Kelly optimiza la creissença quand i a un avantatge. La gestion del capital contraròtla la despensa quand n’i a pas cap.
Se divertir amb las matematicas
Ensaja-o d’en primièr tot sol. Cada solucion es plegada; dobrís-la quand siás prèst.
L’aparelh de prediccion de Thorp e Shannon donava un avantatge d’environ 44%. Sus un sol nombre predich, Kelly ditz de pariar 1,26% del capital de jòcargentCapital de jòcLa soma totala mesa de costat per jogar. La gestion del capital de jòc es decidir quant ne riscar per pari e per sesilha.Legís tot →. E se lo meteis avantatge de 44% veniá sus un sol pari despartit sus cinc nombres vesins?
Mostra la solucion
Responsa Kelly ditz alara 7,1% del capital de jòc, e lo capital creis quasi sièis còps mai lèu: environ 1,25 milion de còps sus 1 000 paris, contra environ 11,5 còps.
Un plenpariPlenUn sol nombre, paga 35:1.Legís tot → amb un avantatge de 44% ganha amb una probabilitat de 0,04, perque 36 × 0,04 = 1,44. La mesa de Kelly es l’avantatge devesit per la cota: 0,44/35 = 1,26%. La creissença tipica per pari es 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, doncas 1 000 paris multiplican lo capital de jòc per environ e^2,44 ≈ 11,5.
Despartís una mesa sus cinc nombres e lo pari ganha amb una probabilitat de 0,20 e paga 36/5 per 1, es a dire 6,2 contra 1: totjorn un avantatge de 44%, perque 0,2 × 7,2 = 1,44. La mesa de Kelly ven 0,44/6,2 = 7,10%, e la creissença per pari 0,01404, environ 5,75 còps mai. Sus 1 000 paris aquò fa e^14,04, environ 1,25 milion.
L’avantatge es lo meteis; las oscillacions son mai pichonas. Un pari que ganha una vegada sus cinc pòt portar una part mai granda del capital de jòc sens riscar la ruina, e la creissença de Kelly o recompensa. Thorp (1984) se servís de l’exemple per mostrar perqué los jogaires de prediccion parian sus de sectorscilindreSectorUn arc continú de casèlas sul cilindre, de destriar d’un grop sul tapís.Legís tot →. En practica cinc vesinspariVesinsUn nombre e las doas casèlas de cada costat sul cilindre, cinc fichas en plen.Legís tot → an un avantatge un pauc mai feble que lo melhor nombre sol (consulta Jòc amb avantatge).
Un jogaire a trobat doas casèlasmaterialCasèlaUn dels 37 compartiments numerotats del rotor. Tanben: lòtja, cobeta.Legís tot → vesinas que sortisson cada una 1 vegada sus 25 en luòc de 1 sus 37. Deu pariar lo cavalpariCavalDos nombres vesins, paga 17:1.Legís tot → entre elas a 17 contra 1, o cada nombre en plen? Quant ditz Kelly, e a quina velocitat creis lo capital de jòc en comparason d’una sola casèla d’aquel tipe?
Mostra la solucion
Responsa Fa pas cap de diferéncia: 2,59% del capital de jòc sul caval, o 1,29% sus cada nombre. Lo capital tipic creis environ 155 còps en 1 000 tiradas, contra 11,5 còps amb una sola casèla.
Lo caval ganha amb una probabilitatmatematicasProbabilitatLa possibilitat d’un resultat, de 0 a 1 o de 0% a 100%. Un nombre: 1/37 = 2,70%.Legís tot → de 2/25 = 0,08 e paga 17 contra 1, doncas tòrna 18 × 0,08 = 1,44 per unitatargentUnitatLa mesa de basa que s’i compta un sistèma o un jogaire. Las progressions son descrichas en unitats per que s’apliquen a qual que siá taula.Legís tot → pariada: un avantatge de 44%, lo meteis qu’una casèla biaissada. La mesa de Kelly es l’avantatge devesit per la cota: 0,44/17 = 2,59%.
Dos paris en plen de 1,29% cadun donan exactament los meteisses resultats. Quand l’un o l’autre nombre sortís, una fichaargentFichaUn jeton que representa una soma fixa, plaçat sul tapís per far un pari. Tanben: check.Legís tot → ganha 35 contra 1 e l’autra es perduda, un net de 34 × 1,29% = 44% del capital de jòc, coma o paga lo caval; quand cap sortís pas, totas doas son perdudas.
La creissença per tirada es 0,00505, contra 0,00244 per una casèla, doncas sus 1 000 tiradas lo capital tipic creis e^5,046 ≈ 155 còps puslèu que e^2,44 ≈ 11,5 còps. Dos bons nombres valon fòrça mai que dos còps un, e es per aquò que los jogaires de biais parian sus de gropes de nombres. Thorp (1984) fa la meteissa comparason.
Pausa umoristica
La mesa de rotleta optimala per la creissença es un nombre que totes coneisson ja.
Fonts
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2a ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2a ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”