Problèma: lo limit de taula
Una martingala de $10 a una taula de $500. Quant sovent se romp, quant pèrd quand se romp, e aumentar lo limit ajuda?
Sièis pèrdas seguidas la rompon: 1,8% per cicle, environ 60% de las sesilhas de 100 tiradas. La ruptura còsta $630. Aumentar lo limit a $5 000 rend la ruptura mai rara (0,25% per cicle) e mai granda ($5 110). La pèrda esperada per dolar pariat es 2,70% a quin limit que siá.
Lo problèma
Un jogaire paria $10 sul rogepariRogePari a egalitat de mesa suls 18 nombres roges. En francés: rouge.Legís tot → e dobla aprèp cada pèrda, e tòrna a la basa aprèp un ganh. Lo maximum de la taula es $500. (a) Quantas pèrdas seguidas rompon la progressionestrategiaProgressionTota règla que cambia la mesa segon los resultats precedents. Las progressions negativas l’aumentan aprèp las pèrdas, las positivas aprèp los ganhs.Legís tot →? (b) Quina es la probabilitatmatematicasProbabilitatLa possibilitat d’un resultat, de 0 a 1 o de 0% a 100%. Un nombre: 1/37 = 2,70%.Legís tot → per cicle? (c) Qué se pèrd a la ruptura? (d) Cossí un limit de $5 000 càmbia las responsas? (e) Un limit qual que siá rend lo sistèma rendable?
Solucions (a)–(c)
Mesas: 10, 20, 40, 80, 160, 320. La setena seriá 640 > 500, doncas sièis pèrdas la rompon. (b) p(pèrda) = 19/37 sul roge; (19/37)⁶ = 0,0183, environ 1,8% per cicle. Un cicle dura environ doas tiradas en mejana, doncas una sesilha de 100 tiradas a a pauc prèp 50 cicles e p(almens una ruptura) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, siá 63 unitatsargentUnitatLa mesa de basa que s’i compta un sistèma o un jogaire. Las progressions son descrichas en unitats per que s’apliquen a qual que siá taula.Legís tot → de basa, contra los $10 que lo cicle ensajava de ganhar.
Solucion (d)
A $5 000: las mesas fins a 2 560 son permesas; la desena mesa, 5 120, es refusada. Nòu pèrdas la rompon: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per cicle, environ 11% de las sesilhas de 100 tiradas. Pèrda a la ruptura: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Lo jogaire a crompat una catastròfa mai rara al prètz d’una catastròfa mai granda. Sus fòrça sesilhas, lo cost esperat de las rupturas es p × pèrda ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per cicle al limit de $500 e 0,0025 × 5 110 = $12,8 a $5 000; los dos son pròches mas pas egals, e cadun es la pèrda esperadamatematicasPèrda esperadaLa valor esperada multiplicada per la soma totala pariada; la soma perduda en mejana sus una sesilha o un periòde.Legís tot → del cicle mai los $10 que los cicles ganhants ganhan.
Solucion (e)
Non. Pèrda esperada per cicle = (mesa totala esperada dins lo cicle) / 37, a quin limit que siá, perque cada pari es −1/37 de se meteis. Lo limit decidís solament cossí la pèrda se repartís entre fòrça ganhs pichons e qualques pèrdas grandas. Sens limit e amb un capital de jòcargentCapital de jòcLa soma totala mesa de costat per jogar. La gestion del capital de jòc es decidir quant ne riscar per pari e per sesilha.Legís tot → infinit, la progression «foncionariá», al sens que se rompriá pas jamai, e pariariá tanben una soma sens limit amb una pèrda esperada de 2,70% d’aquela soma sens limit. Es pas lo limit de taulataulaLimit de taulaLo pari minimal e maximal autorizat. Lo maximum es çò qu’arrèsta las progressions que doblan.Legís tot → qu’empacha la martingalaestrategiaMartingalaProgression que dobla lo pari aprèp cada pèrda. Vei la seccion Estrategia per çò que fa e çò que fa pas.Legís tot → de foncionar. Es l’aritmetica.
Doas taulas realas
L’exemple de Thorp es una taula de $1 amb un maximum de $1 000, ont un jogaire espèra ganhar $30 per sopar, un dolar a la còp. Las mesas 1, 2, 4 … 512 permeton dètz paris, doncas dètz pèrdas seguidas rompon la progression: un còp sus 785 cicles sus un cilindre europèu (un còp sus 613 sus un american), per un cost de $1 023. Trenta cicles capitan totes 96,2% del temps. Los 3,8% que demòran pèrdon environ $1 000, e lo resultat mejan de la serada es −$9,17, qu’es exactament 1/37 dels $339 que los trenta cicles parian en mejana. Una taula de $5 amb un maximum de $2 000 es pas diferenta: las mesas fins a $1 280 permeton nòu paris, e la ruptura arriba un còp sus 403 cicles sus un cilindre europèu (un còp sus 323 sus un american) e còsta $2 555.
Un jogaire ric
Balha a la progression un capital prigond al luòc d’un limit bas: 1 000 unitats, una basa d’una unitat e 1 000 tiradas sul roge, en tornant començar a una unitat cada còp que lo doblament seguent passa çò que demòra. Avèm simulat un milion de seradas aital. Sus un cilindre europèu, 52% acaban en ganh, 21% pèrdon tot, e lo resultat mejan es −124 unitats. Quitament dins un jòc sens zèrocilindreZèroLa sola casèla verda que cap de pari a egalitat de mesa, de dotzena o de colomna cobrís pas; la font de l’avantatge de la casa. Tanben: zèro simple, 0.Legís tot →, ont cada pari es equitable, solament environ 60% acabarián en ganh. La serada abituala es un ganh pichon; la mejana es pagada per las seradas que s’acaban a zèro.
La leiçon
Los casinos fixan de limits per plafonar lor pròpria variànciamatematicasVariànciaUna mesura de l’espandiment dels resultats a l’entorn de la valor esperada. Nauta pel plen, bassa pels paris a egalitat de mesa.Legís tot →, pas per abatre los sistèmas. Abatre la martingala es un efièch segondari que lor agrada, e l’aritmetica l’abatriá de tot biais. Un jogaire que pensa que lo limit es lo problèma a localizat la falèsa e l’a presa per la pendís.
Formula
Questions
Te permet de tenir fins a un limit mai naut, ont la ruptura es mai rara e mai granda. La pèrda esperada per dolar càmbia pas.
Mesas 10, 30, 70, 150, 310: lo limit de $500 es atench aprèp cinc pèrdas, e la ruptura còsta $570. Meteis 2,70%.
Per qu’un sol jogaire pòsca pas pariar mai que çò que la reserva del casino pòt pagar sens dificultat. Gestion de la variància.
Se divertir amb las matematicas
Ensaja-o d’en primièr tot sol. Cada solucion es plegada; dobrís-la quand siás prèst.
Una martingalaestrategiaMartingalaProgression que dobla lo pari aprèp cada pèrda. Vei la seccion Estrategia per çò que fa e çò que fa pas.Legís tot → comença a $100 sul rogepariRogePari a egalitat de mesa suls 18 nombres roges. En francés: rouge.Legís tot → e se permet al maximum n paris per cicle: aprèp n pèrdas de seguida abandona e tòrna començar. Escriu lo resultat mejan d’un cicle coma una formula en n, e calcula-lo per 5, 6 e 7 paris sus un cilindre europèu.
Mostra la solucion
Responsa La mejana es 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 per 5 paris, −$17,35 per 6 e −$20,52 per 7. Permetre mai de paris fa lo cicle mejan pièger, pas melhor.
Un cicle ganha $100 levat se totes los n paris pèrdon, çò que se passa amb una probabilitat qⁿ, ont q = 19/37. Quand totes pèrdon, las mesas 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ fan en tot 100 × (2ⁿ − 1). Doncas la mejana es 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aquí 2q = 38/37, un pauc mai de 1, doncas (2q)ⁿ creis amb n e la mejana baissa: n = 5 dona 1,1426 e −$14,26; n = 6 dona 1,1735 e −$17,35; n = 7 dona 1,2052 e −$20,52. Una escala mai longa pèrd mens sovent, dins 3,6%, 1,8% e 0,9% dels cicles, mas cada pèrda es dos còps mai granda, e mai d’argent passa sus la taula a cada cicle, a 2,70% de cada pari.
Sus un cilindre american 2q = 40/38 e las chifras son −$29,24, −$36,04 e −$43,20 (Taylor, 2021). Dins un jòc sens zèrocilindreZèroLa sola casèla verda que cap de pari a egalitat de mesa, de dotzena o de colomna cobrís pas; la font de l’avantatge de la casa. Tanben: zèro simple, 0.Legís tot → 2q = 1, e cada cicle fa exactament zèro en mejana, quina que siá la longor de l’escala.
La «granda martingala» dobla la mesa aprèp una pèrda e i apond una unitatargentUnitatLa mesa de basa que s’i compta un sistèma o un jogaire. Las progressions son descrichas en unitats per que s’apliquen a qual que siá taula.Legís tot →, doncas las mesas son 1, 3, 7, 15, 31 … De quant siás en ganh quand lo primièr ganh arriba al 1èr, 2nd, 3en o k-en pari? Amb una unitat de $10 e un maximum de $500, cada quant un cicle se romp, e qué còsta un cicle en mejana?
Mostra la solucion
Responsa Un ganh al k-en pari te daissa k unitats en ganh: +1, +2, +3 e aital de seguida. A $10 e $500 lo cicle se romp aprèp cinc pèrdas, 3,57% dels cicles, per −$570. En mejana un cicle pèrd $2,32 sus $85,73 pariats: 2,70%.
La k-ena mesa es 2ᵏ − 1 unitats: 1, 3, 7, 15, 31. Las k − 1 primièras mesas fan en tot 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Un ganh al k-en pari paga 2ᵏ − 1, doncas lo cicle s’acaba (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unitats en ganh: una unitat de mai per cada pèrda abans lo ganh.
A $10 l’unitat las mesas son $10, $30, $70, $150 e $310; la seguenta, $630, passa lo maximum de $500. Cinc pèrdas de seguida, (19/37)⁵ = 3,57%, còstan 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Mejana: los ganhs rapòrtan $10 × k amb una probabilitat de (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 per k = 1 a 5, e la ruptura pren $570 amb una probabilitat de 3,57%; ensems −$2,32. L’argent pariat fa en mejana $85,73 per cicle, e 2,32/85,73 = 2,70%. La martingala ordinària a la meteissa taula se romp aprèp sièis pèrdas, 1,83% dels cicles, per −$630, e pèrd $1,74 sus $64,20 pariats: 2,70% tornarmai.
Un jogaire preveís una martingala sul roge amb un primièr pari de $1 a una taula que son limit es $1 000, doncas dètz paris son possibles: $1, $2, $4 e aital de seguida fins a $512. Cada quant un cicle pèrd totes los dètz, quant de temps cal en mejana per aquò, e cada quant una serada de 200 paris s’acaba aital?
Mostra la solucion
Responsa Un cicle pèrd totes los dètz environ una vegada sus 784, çò que còsta $1 023. Aquò fa environ 1 600 paris en mejana, e una serada de 200 paris tusta contra lo mur environ 11% del temps. Un cicle pèrd totjorn $0,31 en mejana sus $11,31 pariats: 2,70%.
Un pari sul roge pèrd amb una probabilitat de 19/37, zèro comprés. Dètz de seguida: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, environ 1 sus 784. Las mesas 1 + 2 + 4 + … + 512 fan en tot $1 023.
Un cicle demanda 2,05 paris en mejana, doncas 784 cicles demandan environ 1 600 paris. Comptada tirada per tirada, una seria de dètz pèrdas apareis endacòm dins 200 paris 11,3% del temps.
Entre los desastres lo jogaire ganha $1 per cicle: environ $783 abans lo marrit, puèi −$1 023, environ −$240 sus tot lo periòde. Per cicle: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Argent pariat per cicle: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. E −0,31/11,31 = −2,70%.
Compara amb un primièr pari de $10 a un limit de $500, sièis paris: lo mur arriba una vegada sus 55 cicles, e una serada de 200 paris lo rencontra 84% del temps. Un limit mai naut rend la crasada mai rara e mai granda, pas mens cara.
Pausa umoristica
Mai rara e mai granda, a cada limit. Lo produch es constant.
Fonts
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2a ed.