Convergéncia a long tèrme: la lei dels grands nombres a la rotleta
Cossí la mejana s’estabiliza cap a −2,70%, e perque aquò pren mai de temps que çò que ditz l’intuicion.
La pèrda mejana per tirada convergís cap a −1/37 a mesura que las tiradas s’acumulan, amb una dispersion que demesís coma 1/√N. Aprèp 1 000 tiradas sul roge, la mejana se tròba generalament dins ±3% de son esperança.
Lei dels grands nombres
La mejana acumulada de paris independents tend cap a la valor esperadamatematicasValor esperadaLo resultat mejan per pari sul long tèrme. −1/37 de la mesa per cada pari european estandard.Legís tot →. Aprèp N tiradas a egalitat de mesa d’una unitatargentUnitatLa mesa de basa que s’i compta un sistèma o un jogaire. Las progressions son descrichas en unitats per que s’apliquen a qual que siá taula.Legís tot →, lo resultat mejan per tirada a una esperança de −1/37 e un escart tipematematicasEscart tipeRaiç carrada de la variància; la distància tipica entre un resultat e la valor esperada.Legís tot → de 1/√N. Amb N = 100, aquela dispersion es lo 10% de la mesa, gaireben quatre còps lo senhal de 2,7%. Amb N = 1 000 es 3,2%, a pauc prèp parièr al senhal. Amb N = 10 000 es 1%, e l’avantatge se vei clarament. L’avantatge es invisible dins una sesilha e indubitable sus un an.
Çò que convergís e çò que convergís pas
La mejana per tirada convergís. Lo total, non: s’alunha de mai en mai de zèro a mesura que N creis, d’environ 2,7% de N en esperança, amb una dispersion de √N a l’entorn. Un jogaire qu’a jogat 10 000 tiradas a $10 deu èsser, en esperança, en pèrda de $2 700, a $1 000 prèp. La proporcion acumulada de rogespariRogePari a egalitat de mesa suls 18 nombres roges. En francés: rouge.Legís tot → s’es estabilizada dempuèi fòrça temps prèp de 48,65%; lo sòlde acumulat s’es estabilizat enlòc.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Perque l’intuicion se troba
Lo monde s’espèran que l’avantatge se mòstre lèu perque 2,70% sembla fòrça, e que las serias longas «s’equilibren» perque la lei dels grands nombresmatematicasLei dels grands nombresLa mejana de resultats independents conven cap a la valor esperada a mesura que lo nombre d’ensages creis.Legís tot → ditz que las mejanas convergisson. Las doas intuicions se trompan d’escala: l’avantatge es pichon al respècte de la variànciamatematicasVariànciaUna mesura de l’espandiment dels resultats a l’entorn de la valor esperada. Nauta pel plen, bassa pels paris a egalitat de mesa.Legís tot → d’una sola tirada (σ = 1 unitat contra EV = 0,027), doncas cal (1/0,027)² ≈ 1 400 tiradas per que venga visible a una sigma. E la convergéncia de la mejana fa pas res per tornar menar lo total; fa pas que diluir las fluctuacions passadas.
Convergéncia per los autres paris
Per los plenspariPlenUn sol nombre, paga 35:1.Legís tot → σ = 5,84, doncas lo meteis calcul dona (5,84/0,027)² ≈ 47 000 tiradas per que l’avantatge arribe a una sigma. Un jogaire de plens pòt jogar d’annadas sens que l’avantatge se pòsca destriar de l’astre dins sos pròpris registres, e pasmens paga exactament lo meteis 2,70% que lo jogaire del roge que lo vei en qualques setmanas.
Consequéncia per testar los sistèmas
Qual que siá qu’afirma qu’un sistèma fonciona deuriá poder o mostrar sus 10 000 tiradas o mai, amb una mejana positiva documentada. A 1 000 tiradas, una mejana positiva a egalitat de mesa es un eveniment d’un sus cinc jos l’ipotèsi nulla; a 100 tiradas es gaireben un jòc de cara o crotz. Los simulators d’aqueste site executan en una segonda 2 000 sesilhas de la longor que causisses, çò qu’es mai de pròva que quin testimoniatge que siá.
Formula
Questions
La probabilitatmatematicasProbabilitatLa possibilitat d’un resultat, de 0 a 1 o de 0% a 100%. Un nombre: 1/37 = 2,70%.Legís tot → de tornar èsser un jorn en ganh tomba cap a zèro a mesura que jògas. Lo total davala sens limit.
Non. Vòl dire que las fluctuacions passadas venon una fraccion mai pichona d’un escandalh mai grand.
Per l’egalitat de mesa, environ 10 000 abans que l’avantatge siá clarament visible. Per los plens, environ 50 000.
Se divertir amb las matematicas
Ensaja-o d’en primièr tot sol. Cada solucion es plegada; dobrís-la quand siás prèst.
Dos amics jògan 20 rondas d’un jòc equitablematematicasJòc equitableUn jòc que cap de las doas partidas i a pas d’avantatge: cada pari a una valor esperada de zèro.Legís tot →, pila o fàcia o rogepariRogePari a egalitat de mesa suls 18 nombres roges. En francés: rouge.Legís tot → contra negrepariNegrePari a egalitat de mesa suls 18 nombres negres. En francés: noir.Legís tot → amb los zèroscilindreZèroLa sola casèla verda que cap de pari a egalitat de mesa, de dotzena o de colomna cobrís pas; la font de l’avantatge de la casa. Tanben: zèro simple, 0.Legís tot → remborsats, e tenon lo compte de la marca. Compta las rondas pendent las qualas cadun es en avança (una egalitat compta per lo que menava just abans). Qué es mai probable: que l’avança siá partejada 10 rondas contra 10, o qu’un amic mene totas las 20?
Mostra la solucion
Responsa Un amic que mena totas las 20 rondas es fòrça mai probable: 35,2%, en comptant l’un o l’autre amic, contra 6,1% per un partatge egal de 10 contra 10.
La probabilitat qu’una marca equitabla siá a egalitat aprèp 2k rondas es u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 aprèp 10 rondas e 0,176 aprèp 20. Un resultat classic, la lei de l’arcsinus, ditz que la probabilitat qu’un amic designat mene exactament 2k de 2n rondas es u(2k) × u(2n − 2k).
Menar totas las 20: u(20) × u(0) = 0,176 per cada amic, 35,2% per l’un o l’autre. Un partatge egal: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, lo partatge mens probable de totes.
Aital, dins un jòc equitable, l’avança cambia rarament de man. Un jogaire qu’es estat en avança tota la serada, o en retard tota la serada, a pas vist res d’estranh, e aquò ditz pas res sul cilindre ni sus l’abilitat. Epstein (2013) dona la meteissa lei per de partidas mai longas: la mitat del temps, lo costat mai astruc mena pendent mai de 85% del jòc.
Pausa umoristica
La mejana convergís. Lo total, el, se’n va.
Fonts
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.